Enunciado

Determinar o polinômio de Taylor de ordem n , no ponto c dado, das seguintes funções:

f x = ln ⁡ 1 - x ; c = 0   e 1 2 ; n = 4

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem n no ponto c é obtido assim:

P n x = f c + f ' c x - c + f ' ' c 2 ! x - c 2 + … + f n c n ! x - c n

A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Só não pode esquecer da regra da cadeia, ok? Vamos até a derivada de grau 4 , já que queremos o Taylor dessa ordem.

f x = ln ⁡ 1 - x

f ' x = - 1 1 - x

f 2 ' x 2 ! = 1 2 × - 1 1 - x 2

f 3 ' x 3 ! = 1 6 × - 2 1 - x 3

f 4 ' x 4 ! = 1 24 × - 6 1 - x 4

Então o polinômio de Taylor vai ser:

P 4 x = ln ⁡ 1 - c - 1 1 - c x - c - 1 2 1 - c 2 x - c 2 - 1 3 1 - c 3 x - c 3 - 1 4 1 - c 4 x - c 4

Passo 3

No ponto c = 0 :

P 4 x = ln ⁡ 1 - 0 - 1 1 - 0 x - 0 - 1 2 1 - 0 2 x - 0 2 - 1 3 1 - 0 3 x - 0 3 - 1 4 1 - 0 4 x - 0 4

Arrumando,

P 4 x = - x - x 2 2 - x 3 3 - x 4 4

Passo 4

No ponto c = 1 2 :

P 4 x = ln ⁡ 1 - 1 2 - 1 1 - 1 2 x - 1 2 - 1 2 1 - 1 2 2 x - 1 2 2 - 1 3 1 - 1 2 3 x - 1 2 3 - 1 4 1 - 1 2 4 x - 1 2 4

Simplificando,

P 4 x = ln ⁡ 1 2 - 2 x - 1 2 - 2 x - 1 2 2 - 8 3 x - 1 2 3 - 4 x - 1 2 4  

Resposta

Em c = 0 :

P 4 x = - x - x 2 2 - x 3 3 - x 4 4

Em c = 1 2 :

P 4 x = ln ⁡ 1 2 - 2 x - 1 2 - 2 x - 1 2 2 - 8 3 x - 1 2 3 - 4 x - 1 2 4  

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