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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.1 - Ex. 14

Nos Exercícios 11-18, determine o coeficiente angular do gráfico da função em um ponto dado. Em seguida, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico naquele ponto.

g x = 8 x 2 ,       ( 2,2 )

Passo 1

Para determinar o coeficiente angular da curva no ponto dado, usaremos a equação:

m = lim h → 0 ⁡ g x + h - g x h

Passo 2

Vamos substituir a função g x na equação acima:

m = lim h → 0 ⁡ 8 x + h 2 - 8 x 2 h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim.

m = lim h → 0 ⁡ 8 x + h 2 - 8 x 2 h = 8 x + 0 2 - 8 x 2 0 = 0 0

Aí temos que fazer algumas mexidas para sair dessa enrascada. Vamos começar fazendo o MMC no numerador:

m = lim h → 0 ⁡ 8 x 2 - 8 x + h 2 x 2 x + h 2 h

m = lim h → 0 ⁡ 8 x 2 - 8 x + h 2 h x 2 x + h 2

Passo 3

Em seguida vamos abrir o termo quadrático

m = lim h → 0 ⁡ 8 x 2 - 8 x 2 + 2 h x + h 2 h x 2 x + h 2

m = lim h → 0 ⁡ 8 x 2 - 8 x 2 - 16 h x - 8 h 2 h x 2 x + h 2

m = lim h → 0 ⁡ - 16 h x - 8 h 2 h x 2 x + h 2

Passo 4

Em seguida cortamos o termo h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ - 16 x - 8 h x 2 x + h 2 = - 16 x - 8 ∙ 0 x 2 x + 0 2 = - 16 x x 4 = - 16 x 3

Agora vamos substituir o valor de x dado:

m = - 16 2 3 = - 16 8 = - 2

Passo 5

Lembrando da equação da tangente

y - g a = m x - a

Agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y - 2 = - 2 x - 2

Resposta

m = - 2

y - 2 = - 2 x - 2

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29-32. Encontre a derivada indicada.32. (d)/(d alpha) (2 alpha^(- 1) + alpha)
25-26. Aproxime f ' 1 considerando o quociente de diferenças: f 1 + h - f ( 1 ) h Para valores de h perto de 0 ; depois, encontre o valor exato de f 1 por derivação.26. f x = 1 x 2
29-32. Encontre a derivada indicada.31. V^' (r) , onde V = pi r^3
25-26. Aproxime f ' 1 considerando o quociente de diferenças: f 1 + h - f ( 1 ) h Para valores de h perto de 0 ; depois, encontre o valor exato de f ' 1 por derivação.25. f x = x 3 - 3 x + 1
27-28. Use um recurso gráfico para estimar o valor de f ' 1 fazendo um zoom no gráfico de f ; depois compare sua estimativa ao valor exato obtido por derivação.27. f x = x 2 + 1 x