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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 12

Nos Exercícios 1-12, esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.

A s   r e t a s     y = x - 2     e   y = - x ,   e   a   c u r v a y = x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo um esboço das funções temos:

Onde a região em cinza a aquela a ser integrada.

Analisando a figura, vemos que teremos que fazer uma integral que corresponda a duas áreas. Sendo assim, a primeiro vemos que x - 2 ≤ y ≤ x , enquanto que 1 ≤ x ≤ 4 . Para a segunda, temos que - x ≤ y ≤ x enquanto que 0 ≤ x ≤ 1 . Assim:

∫ 0 1 ∫ - x x d y   d x   +   ∫ 1 4 ∫ x - 2 x d y   d x

Passo 2

∫ 0 1 x + x d x   + ∫ 1 4 x - x - 2 d x

2 3 u 3 2 + 1 2 x 2 0 1 + 2 3 u 3 2 - 1 2 x 2 + 2 x 1 4

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Resposta

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Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido. ∬ R3d A, R = x , y- 2 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 6
Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido. ∬ R( 4 - 2 y )d A, R = 0 ,1 × [ 0 ,1 ]
Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido. ∬ R( 5 - x )d A, R = x , y0 ≤ x ≤ 5,0 ≤ y ≤ 3
Calcule a integral dupla. ∬ R6 x 2 y 3 - 5 y 4d A, R = x ,y0 ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 1 }
Calcule a integral dupla. ∬ Rx 1 + x yd A, R = 0 ,1 × 0 ,1