Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 20
Calcule a integral dupla.
Passo 1
Fala minha turma, tudo na paz? Bora lá!!
Nessa questão temos uma integral dupla e devemos calcular seu valor na região .
Como faço isso?
Repare que a região é um retângulo com variando de até e variando também de até .
O diferencial de área é ou . A escolha vai depender da dificuldade de resolver a primeira integral. Repare que é mais vantajoso integrarmos primeiro em , porque podemos aplicar o método da substituição.
Chamamos:
Sabendo disso, podemos montar nossa integral dupla. E lembre-se sempre começamos a integrar de dentro para fora. Então, quando integrarmos em o termo é uma constante.
Assim, sua integral deve ficar com essa cara:
Agora vamos colocar mão na massa, bora lá?
Passo 2
Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla:
Sabemos que sempre começa resolvendo de dentro pra fora.
Aqui é uma constant pra gente, então podemos aplicar uma substituição, do tipo:
Assim ficando com
Integrando em e voltando para a variável , temos:
Aplicando os limites de integração:
Sabendo que , temos:
Passo 3
Galera, só nos restou uma integral simples em pra resolver.
Mas preste bastante atenção que teremos que usar integração por partes, do tipo:
Para a primeira integral, vamos dizer que:
Substituindo, temos que:
Vamos fazer uma alteração no numerador da expressão da integral, ficando:
Observe que adicionamos e no numerador, que acaba ficando a mesma coisa que antes quando somamos.
Passo 4
Podemos agora separar da seguinte forma na integral:
Para a segunda integral iremos fazer uma substituição do tipo:
Vamos ter:
Integrando e voltando para a variável , vamos ter:
Agora temos que aplicar os limites de integração na expressão, logo:
Sabemos que , logo ficamos com:
Coisa linda ein! Logo a resposta da nossa integral é: