Determine o volume do sólido dado.

31.

Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.

Passo 1

Fala, galera!

A questão quer que a gente encontre o volume do sólido pela limitação do cilindro e pelos planos dados no primeiro quadrante, hein?

Show!

Olha só, o volume é definido por três planos ( x ,   y ,   z ) , beleza?

Quando z = 0 , teremos um plano x y , que é definido pelo cilindro que nos foi dada na questão:

x 2 + y 2 = 1

Vamos começar pegando nossa equação do cilindro e substituindo pelos planos, e assim acharemos nossos limites de integração no primeiro quadrante.

Passo 2

Quando x = 0 , teremos:

x 2 + y 2 = 1

0 + y 2 = 1

y = ± 1

Mas como queremos a região do primeiro quadrante, então no eixo x nossa região será definida por:

0 ≤ x ≤ 1

Já quando y = z

x 2 + y 2 = 1

x 2 + z 2 = 1

z = 1 - x 2

Então,

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Graficamente, podemos representar assim:

Mas como estamos de olho no primeiro quadrante, nosso plano x y será definido assim:

Nossa função pode ser representada por z = f ( x ,   y ) .

Assim, o volume será

V = ∬ z   d x   d y

Mas como z = y , então

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 y   d y   d x

Passo 3

Calculando a integral de dentro, ou seja, em relação a y :

∫ 0 1 - x 2 y   d y

y 2 2 0 1 - x 2

1 - x 2 2 2 - 0 2 2

Cancelando a raiz quadrada porque temos um expoente quadrado:

1 - x 2 2

Beleza, agora resolvendo a integral em relação a x , teremos:

∫ 0 1 1 2 1 - x 2 d x

1 2 ∫ 0 1 1 - x 2   d x

Assim,

1 2 x - x 3 3 0 1

1 2 1 - 1 3 = 1 3

Resposta

V = 1 3

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