Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral.

∬ T s e n 4 ( x + y )   d A ,

onde T é o triângulo delimitado pelas retas y = 0 , y = 2 x e x = 1 .

Passo 1

A questão pede para usarmos a propriedade 11 apresentada no capítulo para estimar (não calcular exatamente) o valor da integral. Essa propriedade basicamente diz que se a função for limitada (isto é, m ≤ f x , y ≤ M ) em toda a região de integração, então a integral de f na região também será limitada:

m ⋅ A ≤ ∬ f x , y   d A ≤ M ⋅ A ,

onde A é a área do domínio de integração.

Desta forma, neste problema, temos que calcular A e achar os números m e M que limitam a função para, assim, estimar o valor da integral.

Passo 2

Sabemos que - 1 ≤ s e n   t ≤ 1 , de modo que

0 ≤ s e n 4 x + y ≤ 1

Então como f ( x , y ) , podemos tomar m = 0 e M = 1 .

Passo 3

A área da região é a área de um triângulo de base 1 e altura 2 :

A = 1 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 1

Desta forma, aplicando a propriedade 11:

0 ⋅ 1 ≤ ∬ s e n 4 x + y d A ≤ 1 ⋅ 1

Portanto,

0 ≤ ∬ s e n 4 x + y d A ≤ 1

Essa é a estimativa que conseguimos achar usando a propriedade!

Resposta

0 ≤ ∬ s e n 4 x + y d A ≤ 1

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