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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 61

Demonstre a propriedade 11.

Passo 1

A questão pede para demonstrarmos a propriedade 11 que basicamente diz que se a função f ( x , y ) é limitada no domínio de integração D , isto é, se m <= f (x , y) <= M , AA (x , y) in D , então

m * A <= ∬_D^() f (x , y) d A <= M * A

onde A é a área do domínio de integração, isto é,

A = ∬_D^() d A

Para demonstrar essa propriedade, vamos aplicar a propriedade do sanduíche de integrais: se m <= f (x , y) <= M , então

∬_D^() m d A <= ∬_D^() f (x , y) d A <= ∬_D^() M d A

Passo 2

Como m e M são constantes, podemos tirar elas da integral:

m ∬_D^() d A <= ∬_D^() f (x , y) d A <= M ∬_D^() d A

Por outro lado, como sabemos que A = ∬_D^() d A ,

temos que

m * A <= ∬_D^() f (x , y) d A <= M * A

Resposta

Demonstração.

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