Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 57
Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral.
onde é o quarto de círculo com centro na origem e raio no primeiro quadrante.
Passo 1
A questão pede para usarmos a propriedade 11 apresentada no capítulo para estimar (não calcular exatamente) o valor da integral. Essa propriedade basicamente diz que se a função for limitada (isto é, ) em toda a região de integração, então a integral de na região também será limitada:
onde é a área do domínio de integração.
Desta forma, neste problema, temos que calcular e achar os números e que limitam a função para, assim, estimar o valor da integral.
Passo 2
Como a região de integração é interna à circunferência centrada na origem e de raio , temos que
Assim,
Como a exponencial é crescente, a última desigualdade implica
Assim, como , temos que e .
Passo 3
A área da região é um quarto do círculo:
Desta forma, aplicando a propriedade 11:
Fazendo as contas em uma calculadora:
Essa é a estimativa que conseguimos achar usando a propriedade!