Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Passo 1

Seja f x = t g   4 x .   Temos que, no intervalo do domínio [ - π 8 , π 12 ] , temos apenas x = 0 raiz dessa função.

Passo 2

Além disso, temos que a função t g   x   não existe nos pontos x = 2 k + 1 π 2 ,   k ∈ Z . Logo, f - π 8 = t g 4 . - π 8 = t g ( - π 2 ) e como dito acima, não existe. Logo o ponto x = - π 8 não faz parte do domínio.

Logo o domínio de f   é   - π 8 , π 12 .

Passo 3

Calculando f ' ( x ) :

Utilizando a regra da cadeia, teremos o seguinte:

u v ' = u ' v . v ' → f ' x = s e c 2 4 x . 4 → f ' x = 4 s e c 2 4 x

Vejamos que f ' x = 4 s e c 2 x = 2 s e c x 2 . Logo, f ' ( x ) ≥ 0 , o que significa que a função é sempre crescente.

Além disso, a função sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x ,   e como 0 ≤ cos ⁡ x ≤ 1 → 1 cos ⁡ x ≥ 1 . Com isso, não temos raízes para f ' ( x ) .

Passo 4

Calculando f ' ' ( x ) , utilizando novamente a regra da cadeia, teremos:

f ' x = 4 . ( 2 sec ⁡ 4 x ) . sec ⁡ 4 x t g   4 x . 4 → f ' ' x = 32   s e c 2 4 x   t g   4 x

Vejamos que a parcela s e c 2 4 x   ≥ 1 ,   como visto no passo anterior. Então, a parcela que influenciará no sinal de f ' ' x   é   t g 4 x . Dessa forma, f ' ' x terá o mesmo comportamento de f x .

Com isso, x = 0 é raiz.

Passo 5

Passo 6

Com as informações da tabela e alguns pontos do gráfico, teremos o gráfico:

Passo 7

Vejamos que, verificando os extremos do domínio da função, f π 8 = 3 . Além disso, lim x → - π 8 ⁡ f ( x ) → lim x → - π 8 ⁡ t g   4 x = - ∞   . Assim, 3 é um máximo absoluto e não tem valor mínimo.

Resposta

Gráfico:

E o valor de máximo é 3   q u a n d o   x = π 12 .  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados