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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 14

Nos Exercícios 13 a 20, o gráfico da equação dada é uma elipse ou uma hipérbole. Ache o centro, vértices e focos da cônica. Se o gráfico for uma elipse, ache também as extremidades do eixo menor. Se o gráfico for uma hipérbole, ache também as equações das assíntotas. Faça um esboço da curva e mostre os focos. Se a curva for uma hipérbole, trace também as assíntotas.

14. 25 x 2 - 4 y 2 = 100

Passo 1

Então pessoal, de ínicio temos que saber qual é o formato de uma equação de elipse e de hipérbole para podermos comparar com a equação que nos foi dada, certo? Temos que:

E l i p s e : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

H i p é r b o l e : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Para a equação que nos foi dada, temos:

25 x 2 - 4 y 2 = 100

x 2 4 - y 2 25 = 1

Que é uma equação de hipérbole!

Passo 2

Agora que já sabemos que tipo de cônica a nossa equação se trata, vamos descobrir seu centro, vértices, focos e extremidades do eixo menor.

Centro: ( 0 ,   0 )

Vértices: ( 2 ,   0 ) e ( - 2 ,   0 )

Para determinarmos a distância do centro aos focos, temos que utilizar a relação:

a 2 + b ² = c ²

No qual c é a distância supracitada. Sabendo que a 2 = 4 e b 2 = 25 , temos:

c = 4 + 25 = 29

Focos: ( 29 ,   0 ) e ( - 29 ,   0 ) .

Por fim, para determinarmos as equações das assíntotas, temos que utilizar as relações:

y 1 = b a x   e   y 2 = - b a x

Substituindo os valores, teremos:

y 1 = 5 2 x   e   y 2 = - 5 2 x

Esboçando essa hipérbole, teremos o seguinte, galera:

Resposta

Centro: ( 0 ,   0 )

Vértices: ( 2 ,   0 ) e ( - 2 ,   0 )

Focos: ( 29 ,   0 ) e ( - 29 ,   0 )

Assíntotas: y 1 = 5 2 x   e   y 2 = - 5 2 x

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