Utilizando a relação s e n   x = x + o x 2 ,   c a l c u l e   lim x → 0 ⁡ s e n   x - x 2 x 2

Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0

Passo 1

Para resolver esse limite, basta usar a relação que ele deu para gente, que nada mais é do que o polinômio de Taylor de ordem 2 e substituir no limite

lim x → 0 ⁡ x + o x 2 - x 2 x 2

A gente pode separar esses limites

lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 + lim x → 0 ⁡ x - x 2 x 2

Passo 2

Opa, foi dito no enunciado que esse limite era 0, logo

lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0

Passo 3

Vamos seguir com a outra parte

lim x → 0 ⁡ x - x 2 x 2

Aplicando L’hospital

lim x → 0 ⁡ 1 - 2 x 2 x = ∞

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n   x - x 2 x 2 = ∞

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