Enunciado

37. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =   0 ,   Q ( x 0 ) = 0 e Q ' ( x 0 ) = 0 e Q ' ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que

lim x → xo ⁡ P x Q x = P ' x o Q ' x o

(Sugestão: Desenvolva P ( x ) e Q ( x ) em potência de   x - x o e simplifique).

Passo 1

Lembremos que P ( x ) pode ser escrito como P x o +   P ' x o x - x o +   P " ( x o )   2 ! x - x o 2 + P ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3 .

(Chamamos de desenvolvimento de Taylor do polinômio P ( x ) em potências de x - x o )

Da mesma forma, Q ( x ) = Q x o +   Q ' x o x - x o +   Q " ( x o )   2 ! x - x o 2 + Q ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3 .

Passo 2

Agora, vamos resolver o limite substituindo P(x) e Q(x) pelas equações descritas no passo anterior.

lim x → xo ⁡ P x Q x = lim x → xo ⁡ P x o +   P ' x o x - x o +   P " ( x o )   2 ! x - x o 2 + P ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3   Q x o +   Q ' x o x - x o +   Q " ( x o )   2 ! x - x o 2 + Q ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3

Do enunciado, temos que P ( x o )   =   Q ( x o )   =   0 . Portanto,

lim x → xo ⁡ 0 +   P ' x o x - x o +   P " ( x o )   2 ! x - x o 2 + P ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3   0 +   Q ' x o x - x o +   Q " ( x o )   2 ! x - x o 2 + Q ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3

Vamos simplificar colocando ( x - x o ) em evidência e ver o que acontece

lim x → xo ⁡ x - x o ( P ' x o +   P " ( x o )   2 ! ( x - x o ) + P ´ ´ ´ x o 3 ! x - x o 2 )   ( x - x o )   ( Q ' x o +   Q " ( x o )   2 ! ( x - x o ) + Q ´ ´ ´ x o 3 ! x - x o 2 ) = = lim x → xo ⁡ P ' x o +   P " ( x o )   2 ! ( x - x o ) + P ´ ´ ´ x o 3 ! x - x o 2     Q ' x o +   Q " ( x o )   2 ! ( x - x o ) + Q ´ ´ ´ x o 3 ! x - x o 2

Passo 3

Substituindo x por x o , obtemos:

lim x → xo ⁡ P ' x o +   P " ( x o )   2 ! ( x - x o ) + P ´ ´ ´ x o 3 ! x - x o 2     Q ' x o +   Q " ( x o )   2 ! ( x - x o ) + Q ´ ´ ´ x o 3 ! x - x o 2 = = P ' x o +   P " ( x o )   2 ! ( x o - x o ) + P ´ ´ ´ x o 3 ! x o - x o 2     Q ' x o +   Q " ( x o )   2 ! ( x o - x o ) + Q ´ ´ ´ x o 3 ! x o - x o 2 = P ' x o Q ' x o

(Lembre-se de que a segunda igualdade só vale por causa da hipótese inicial de que Q ' x o ≠ 0 ).

Resposta

lim x → xo ⁡ P x Q x = P ' x o Q ' x o

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29. Aplique a fórmula de Taylor para expressar o polinômio P x = x 4 - x 3 + 2 x 2 - 3 x + 1 como um polinômio em potências de x - 1 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.1 1 .f x = l n ⁡ ( c o s x ) ; a = π 3 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.1 2 .f x = e - x 2 ; a = 0 ; n = 3 .
Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada. f x = 1 + x 2 - 1 a = 1 n = 3
Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada. f x = cos ⁡ x a = 0 n = 6