Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 33
33- Considere o polinômio a0 + a1x + a2x2 + a3x3 onde a0, a1, a2 e a3 são fixos. Seja 0 um número real dado.
a) Mostre que existem constantes A0, A1, A2 e A3 tais que
A0 + A1 (x - x0) + A2 (x – x0) 2 + A3 (x - x0) 3.
(Sugestão: Faça 00).
b)Conclua que
.
(Dizemos que é o desenvolvimento de Taylor do polinômio P(x) em potências de x - x0).
Passo 1
a)Seja a0 + a1x + a2x2 + a3x3. Vamos usar a sugestão dada no enunciado e escrever como . Portanto, temos
a0 + a1((x – x0) + x) + a2((x – x0) + x)2 + a3((x – x0) + x)3 = a0 + a1(x – x0) + a1x0 + a2(x – x0)2 + 2 a2(x – x0)x + a2x02 + a3(x – x0) 3 + 3a3(x – x0)2 x0 + 3a3x02(x – x0) + a3x03
Organizando e agrupando os termos iguais, teremos
(a0 + a1 x0 + a2 x02 + a3 x03) + (a1 + 2a2 x0 + 3a3x02) (x – x0) + (a2 + 3a3x0) (x – x0)2 +
+ a3(x – x0)3
Agora, pegue A0 = (a0 + a1 x0 + a2 x02 + a3 x03), A1 = (a1 + 2a2 x0 + 3a3x02) e A2 = (a2 + 3a3x0) e substitua na equação de cima.
Dessa forma, obtemos A0 + A1 (x - x0) + A2 (x – x0) 2 + A3 (x - x0) 3.
Passo 2
b)Seja A0 + A1 (x - x0) + A2 (x – x0) 2 + A3 (x - x0) 3.
A1 + 2A2 (x – x0) + 3A3 (x - x0) 2
Logo,1
2A2 + 6A3 (x - x0)
Logo, 2. E, com isso,2
6A3
Logo,3. Portanto, A3 =
Substituindo A1, A2 e A3 na equação dada no enunciado, teremos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)