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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 7b

Verifique que 1 - t + t 2 - t 3 + … + - 1 n   t n é o polinômio de Taylor, de ordem n , de 1 1 + t   em volta de 0 .

Passo 1

Bem, para calcular o polinômio de Taylor de f t =   1 1 + t pode obtido da seguinte forma:

P t = f t 0 +   f ' t 0 t - t 0 + f ' ' t 0 2 !   t - t 0 2 + … + f n t 0 n !   t - t 0 n

Calculando as derivadas da função:

f ' t =   - 1 1 + t 2

f ' ' t =   2 1 + t 3

f ' ' ' t =   - 3 ! 1 + t 4

f ( 4 ) t =   - 4 ! 1 + t 5

Portanto a derivada de ordem n é dada por:

f n t = - 1 n n ! 1 + t n

Portanto, no ponto t 0 = 0 o polinômio de Taylor é:

P t =     1   + - 1 t + 2 2 t 2 + - 3 ! 3 ! t 3 + … + - 1 n n ! n ! t n

Portanto:

P t = 1 - t + t 2 - t 3 + … + - 1 n   t n

Resposta

P t = 1 - t + t 2 - t 3 + … + - 1 n   t n

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