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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 7d

Mostre que, para todo x > - 1 ,

ln (x + 1) = x - (x^2)/(2) + (x^3)/(3) - (x^4)/(4) + ... + (- 1)^n (x^(n + 1))/(n + 1) + int_0^x E (t) d t

Passo 1

Sabemos que a derivada de ln (x + 1) é (1)/(x + 1) , portanto temos:

int_0^x (1)/(t + 1) d t = int_0^x (1 - t + t^2 - t^3 + ... + (- 1)^n t^n + E ( t )) d t

Integrando cada poloniomio temos:

int_0^x (1)/(t + 1) d t = x - (x^2)/(2) + (x^3)/(3) - (x^4)/(4) + ... + (- 1)^n (x^(n + 1))/(n + 1) + int_0^x E (t) d t

Como,

int_0^x (1)/(t + 1) d t = ln ( x + 1 )

ln ( x + 1 ) = x - (x^2)/(2) + (x^3)/(3) - (x^4)/(4) + ... + (- 1)^n (x^(n + 1))/(n + 1) +

Resposta

ln ( x + 1 ) = x - (x^2)/(2) + (x^3)/(3) - (x^4)/(4) + ... + (- 1)^n (x^(n + 1))/(n + 1) + int_0^x E (t) d t

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