Mostre que, para todo x > -1 ,

ln ⁡ x + 1 = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … + - 1 n   x n + 1 n + 1 + ∫ 0 x E t d t  

Passo 1

Sabemos que a derivada de ln ⁡ x + 1 é 1 x + 1 , portanto temos:

∫ 0 x 1 t + 1   d t =     ∫ 0 x 1 - t + t 2 - t 3 + … + - 1 n   t n + E ( t )   d t  

Integrando cada poloniomio temos:

∫ 0 x 1 t + 1   d t = x ⁡ - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … + - 1 n   x n + 1 n + 1 + ∫ 0 x E t d t      

Como,

∫ 0 x 1 t + 1   d t =   ln ⁡ ( x + 1 )

ln ⁡ ( x + 1 ) =   x ⁡ - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … + - 1 n   x n + 1 n + 1 +

Resposta

ln ⁡ ( x + 1 ) =   x ⁡ - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … + - 1 n   x n + 1 n + 1 + ∫ 0 x E t d t  

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