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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 6

Mostre que para todo x ,

cos x = underset(n -> oo)(lim) [1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + . . . + (- 1)^n (x^(2 n))/((2 n) !)^()]

Ou

cos x = 1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + . . .

Passo 1

Vamos calcular a série de Taylor em volta do ponto x = 0 para cos x :

cos x = cos 0 - sin 0 x - cos 0 (x^2)/(2 !) + sin 0 (x^3)/(3 !) + cos [[0 (x^4)/(4 !) - sin 0 (x^5)/(5 !) + cos 0 (x^6)/(6 !) + ...],[]]

Bem, como cos 0 = 1 e sin 0 = 0 temos:

cos x = 1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + ...

Bem, como temos sempre números pares nos polinomios de x e sempre podemos escrever números pares na forma: 2 n . Podemos escrever cade termo da série da seguinte maneira, tomando cuidado com o sinal que troca a cada termo:

(- 1)^n (x^(2 n))/(2 n !)

Dessa forma, quando somarmos de n = 0 até n -> oo vamos ter a expressão exata da função:

cos x = underset(n -> oo)(lim) [1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + . . . + (- 1)^n (x^(2 n))/((2 n) !)^()]

Resposta

cos x = underset(n -> oo)(lim) [1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + . . . + (- 1)^n (x^(2 n))/((2 n) !)^()]

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