Mostre que para todo x ,cos x = underset(n - oo)(lim) [1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + . . . + (- 1)^n (x^(2 n))/((2 n) !)^()] Oucos x = 1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + . . .

cos x = underset(n - oo)(lim) [1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + . . . + (- 1)^n (x^(2 n))/((2 n) !)^()]

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 6

Mostre que para todo ,

Ou

Passo 1

Vamos calcular a série de Taylor em volta do ponto para :

Bem, como e temos:

Bem, como temos sempre números pares nos polinomios de e sempre podemos escrever números pares na forma: . Podemos escrever cade termo da série da seguinte maneira, tomando cuidado com o sinal que troca a cada termo:

Dessa forma, quando somarmos de até vamos ter a expressão exata da função:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

33- Considere o polinômio P x = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 onde a0, a1, a2 e a3 são fixos. Seja x 0 um número real dado.a) Mostre que existem constantes A0, A1, A2 e A3 tais que P x = A0 + A1 (x - x0) + A

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de x 0 dado. f x = 1 1 + x ,x 0 = 0

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de x 0 dado. f x = sen ⁡ x ,x 0 = 0

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de x 0 dado. f x = x ,x 0 = 1

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de x 0 dado. f x = e x ,x 0 = 0