Mostre que para todo x ,

cos ⁡ x = lim n → ∞ ⁡ 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + . .   . + - 1 n x 2 n 2 n !      

Ou

cos(x) = 1 - x^2 / 2 + x^4 / 4! - x^6 / 6! + ...

Passo 1

Vamos calcular a série de Taylor em volta do ponto x = 0 para cos ⁡ x :

cos ⁡ x = cos ⁡ 0 - sin ⁡ 0 x - cos ⁡ 0 x 2 2 ! + sin ⁡ 0 x 3 3 ! + cos ⁡ 0 x 4 4 ! - sin ⁡ 0 x 5 5 ! + cos ⁡ 0 x 6 6 ! + …  

Bem, como cos ⁡ 0 = 1 e sin ⁡ 0 = 0   temos:

cos ⁡ x = 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + …

Bem, como temos sempre números pares nos polinomios de x e sempre podemos escrever números pares na forma: 2 n . Podemos escrever cade termo da série da seguinte maneira, tomando cuidado com o sinal que troca a cada termo:

- 1 n x 2 n 2 n !

Dessa forma, quando somarmos de n   =   0 até n → ∞   vamos ter a expressão exata da função:

cos ⁡ x = lim n → ∞ ⁡ 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + . .   . + - 1 n x 2 n 2 n !      

Resposta

cos ⁡ x = lim n → ∞ ⁡ 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + . .   . + - 1 n x 2 n 2 n !      

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