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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 34

Nos Exercícios 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

∫ 1 - r 2 5 / 2 r 8 d r

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é uma mudança de variável. Como o exercício fala que a maioria será substituição trigonométrica, vamos tentar alguma primeiro.

r = sin ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d r = cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ 1 - r 2 5 / 2 r 8 d r = ∫ 1 - sin 2 ⁡ θ 5 / 2 sin 8 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Assim,

∫ cos 2 ⁡ θ 5 / 2 sin 8 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 5 ⁡ θ sin 8 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 6 ⁡ θ sin 8 ⁡ θ d θ

Rearranjando a integral:

∫ cos 6 ⁡ θ sin 8 ⁡ θ d θ = ∫ cos 6 ⁡ θ sin 6 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ cot 6 ⁡ θ csc 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora, precisamos fazer uma nova mudança de variável:

u = cot ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = - csc 2 ⁡ θ d θ

- d u = csc 2 ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

∫ cot 6 ⁡ θ csc 2 ⁡ θ d θ = - ∫ u 6 d u

Calculando a integral:

- ∫ u 6 d u = - u 7 7 + C

Em seguida, precisamos reverter para a variável original:

- u 7 7 = - cot 7 ⁡ θ 7 = - 1 7 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 7 = - 1 7 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ 7 = - 1 7 1 - sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ 7

- u 7 7 = - 1 7 1 - r 2 r 7 + C

Resposta

- 1 7 1 - r 2 r 7 + C

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