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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 15

Nos Exercícios de 1 a 16, encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

1 5 )   f x = t g x 2 ;     x ∈ ( - π , π )  

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

f x = t g x 2

f ' x = 1 2 . s e c ² ( x 2 )

f ' ' x = 1 2 . s e c ²   x 2 . t g ( x 2 )

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 .

Passo 2

Igualando f ' ' x = 0 :

1 2 . s e c ²   x 2 . t g ( x 2 ) = 0

Como:

sec ⁡ x 2 = 1 cos ⁡ ( x / 2 )

Esta função não poderá ser igualado a zero. Sendo assim nos resta analisar o termo tangente:

t g x 2 = 0

a r c   t g 0 = 0

Para que a função tangente seja igual a 0:

x 2 = 0 → x = 0

Para determinar se existe ou não um ponto de inflexão neste ponto, precisamos verificar se f ' ' x muda de sinal.

Sendo assim,   x = 0 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função e traçando as retas tangentes aos pontos de inflexão:

Resposta

Pontos de inflexão: x = 0 .

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Faça um esboço do gráfico de uma função f para a qual f x ,f ' x ef ' ' ( x ) existem e são positivas para todo x: i .f ' x0s exc ; i i .f ' x0s exc ; i i i . f ' c0 ; i v . f ' ' x0s exc ; v . f ' '
Se f x = 3 x 2 + x | x | , prove que f ' ' ( 0 ) não existe, mas o gráfico de f é côncavo para cima em toda parte.
Faça um esboço do gráfico de uma função f para a qual f x ,f ' x ef ' ' ( x ) existem e são negativas para todo x: i .f ' x0s exc ; i i .f ' x0s exc ; i i i . f ' c0 ; i v . f ' ' x0s exc ; v . f ' '
Estima-se que um operário de uma oficina que fabrica molduras para quadros possa pintar y molduras, x horas após ter começado a trabalhar às 8 da manhã, e y = 3 x + 8 x ² - x 3 0 ≥ x ≤ 4 ² Ache o mome
Se f x = x 5 , mostre que 0 é um número crítico de f , mas que f ( 0 ) não é um extremo relativo. A origem é um ponto de inflexão do gráfico de f ? Prove sua resposta,