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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 6

Nos Exercícios 1-6, use a definição para calcular as derivadas das funções. Depois determine os valores das derivadas, conforme especificado.

r s = 2 s + 1 ;         r ' 0 ,   r ' 1 ,   r ' 1 / 2

Passo 1

Vamos começar lembrando da definição para calcular derivada de funções.

r ' s = lim h → 0 ⁡ r s + h - r s h

Passo 2

Agora precisamos substituir a função r s na equação acima:

r ' s = lim h → 0 ⁡ 2 s + h + 1 - 2 s + 1 h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim.

r ' s = lim h → 0 ⁡ 2 s + h + 1 - 2 s + 1 h = 2 s + 0 + 1 - 2 s + 1 0 = 0 0

Por conta disso, temos que mexer um pouco nessa equação para escapar dessa chatice. Primeiro vamos multiplicar pelo conjugado do numerador:

r ' s = lim h → 0 ⁡ 2 s + h + 1 - 2 s + 1 h ∙ 2 s + h + 1 + 2 s + 1 2 s + h + 1 + 2 s + 1

Lembrando que a + b a - b = a 2 - b 2 , obtemos

r ' s = lim h → 0 ⁡ 2 s + h + 1 2 - 2 s + 1 2 h 2 s + h + 1 + 2 s + 1

r ' s = lim h → 0 ⁡ 2 s + h + 1 - 2 s - 1 h 2 s + h + 1 + 2 s + 1

r ' s = lim h → 0 ⁡ 2 s + 2 h + 1 - 2 s - 1 h 2 s + h + 1 + 2 s + 1

r ' s = lim h → 0 ⁡ 2 h h 2 s + h + 1 + 2 s + 1

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h , ok?

r ' s = lim h → 0 ⁡ 2 2 s + h + 1 + 2 s + 1 = 2 2 s + 0 + 1 + 2 s + 1 = 2 2 2 s + 1

r ' s = 1 2 s + 1

Passo 4

Por fim precisamos substituir os valores de s na função que encontramos:

r ' s = 1 2 s + 1

r ' 0 = 1 2 ∙ 0 + 1 = 1

r ' 1 = 1 2 ∙ 1 + 1 = 1 3 ∙ 3 3 = 3 3

r ' 1 / 2 = 1 2 ∙ 1 2 + 1 = 1 2 ∙ 2 2 = 2 2

Resposta

r ' s = 1 2 s + 1

r ' 0 = 1

r ' 1 = 3 3

r ' 1 / 2 = 2 2

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Calcule f ' ( x ) , pela definição. b )f x = 3 x - 1
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados g )f x = 2 x 3 - x 2 ; p = 1
Calcule f ' ( x ) , pela definição. h )f x = 1 x 2
Calcule f ' ( x ) , pela definição. a )f x = x 2 + x
Seja f x = 2 x . Pensando geometricamente, qual o valor que você espera para f ' ( p ) ? Calcule f ' ( p ) .