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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 6d

Calcule f^' ( x ) , pela definição.

d ) f (x) = (1)/(x)

Passo 1

Lembrando que a definição de derivada f^' ( x ) é:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f ( x ))/(h)

Passo 2

Aqui temos que f (x) = 1 // x e f (x + h) = 1 // ( x + h ) , então substituindo na definição temos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/((x + h)) - (1)/(x))/(h)

Passo 3

Trabalhando o numerador teremos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((x - ( x + h ))/(x ( x + h )))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((- h)/(x^2 + x h))/(h) = underset(h -> 0)(lim) - (h)/(x^2 + x h) . (1)/(h) = underset(h -> 0)(lim) - (1)/(x^2 + x h)

Quando h -> 0 o valor de f^' ( x ) é:

f^' (x) = - (1)/(x^2)

Resposta

f^' (x) = - (1)/(x^2)

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