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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 5

Nos Exercícios 1-6, use a definição para calcular as derivadas das funções. Depois determine os valores das derivadas, conforme especificado.

p θ = 3 θ ;         p ' 1 ,   p ' 3 ,   p ' 2 / 3

Passo 1

Vamos começar lembrando da definição para calcular derivada de funções.

p ' θ = lim h → 0 ⁡ p θ + h - p θ h

Passo 2

Agora precisamos substituir a função p θ na equação acima:

p ' θ = lim h → 0 ⁡ 3 θ + h - 3 θ h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim.

p ' θ = lim h → 0 ⁡ 3 θ + h - 3 θ h = 3 θ + 0 - 3 θ 0 = 0 0

Por conta disso, temos que mexer um pouco nessa equação para escapar dessa chatice. Primeiro vamos multiplicar pelo conjugado do numerador:

p ' θ = lim h → 0 ⁡ 3 θ + 3 h - 3 θ h ∙ 3 θ + 3 h + 3 θ 3 θ + 3 h + 3 θ

Lembrando que a + b a - b = a 2 - b 2 , obtemos

p ' θ = lim h → 0 ⁡ 3 θ + 3 h 2 - 3 θ 2 h 3 θ + 3 h + 3 θ

p ' θ = lim h → 0 ⁡ 3 θ + 3 h - 3 θ h 3 θ + 3 h + 3 θ

p ' θ = lim h → 0 ⁡ 3 h h 3 θ + 3 h + 3 θ

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h , ok?

p ' θ = lim h → 0 ⁡ 3 3 θ + 3 h + 3 θ = 3 3 θ + 3 ∙ 0 + 3 θ = 3 2 3 θ

Passo 4

Por fim precisamos substituir os valores de θ na função que encontramos:

p ' θ = 3 2 3 θ

p ' 1 = 3 2 3 ∙ 1 = 3 2 3 ∙ 3 3 = 3 2

p ' 3 = 3 2 3 ∙ 3 = 1 2

p ' 2 / 3 = 3 2 3 ∙ 2 3 = 3 2 2 ∙ 2 2 = 3 2 4

Resposta

p ' θ = 3 2 3 θ

p ' 1 = 3 2

p ' 3 = 1 2

p ' 2 / 3 = 3 2 4

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