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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 2

Nos Exercícios 1-6, use a definição para calcular as derivadas das funções. Depois determine os valores das derivadas, conforme especificado.

F x = x - 1 2 + 1 ;         F ' - 1 ,   F ' 0 ,   F ' 2

Passo 1

A primeira parte para resolver o nosso problema é relembrar como calculamos a derivada de uma função utilizando a definição.

F ' x = d y d x = lim h → 0 ⁡ F x + h - F x h

Passo 2

Agora precisamos substituir a função f x na equação acima:

d y d x = lim h → 0 ⁡ x 0 + h - 1 2 + 1 - x 0 - 1 2 + 1 h

d y d x = lim h → 0 ⁡ x 0 + h - 1 2 + 1 - x 0 - 1 2 - 1 h

d y d x = lim h → 0 ⁡ x 0 + h - 1 2 - x 0 - 1 2 h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim.

d y d x = lim h → 0 ⁡ x 0 + h - 1 2 - x 0 - 1 2 h = x 0 + 0 - 1 2 - x 0 - 1 2 0 = 0 0

Por isso a gente tem que fazer algumas manipulações para fugir dessa chatice. Vamos começar abrindo os termos ao quadrado:

d y d x = lim h → 0 ⁡ x 0 2 + 2 x 0 h - 2 x 0 - 2 h + h 2 + 1 - x 0 2 - 2 x 0 + 1 h

d y d x = lim h → 0 ⁡ x 0 2 + 2 x 0 h - 2 x 0 - 2 h + h 2 + 1 - x 0 2 + 2 x 0 - 1 h

d y d x = lim h → 0 ⁡ 2 x 0 h - 2 h + h 2 h

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h , ok?

d y d x = lim h → 0 ⁡ 2 x 0 - 2 + h = 2 x 0 - 2

Passo 4

Por fim precisamos substituir os valores de x na função que encontramos:

F ' x = 2 x 0 - 2

F ' - 1 = 2 - 1 - 2 = - 4

F ' 0 = 2 0 - 2 = - 2

F ' 2 = 2 2 - 2 = 2

Resposta

F ' x = 2 x 0 - 2

F ' - 1 = - 4

F ' 0 = - 2

F ' 2 = 2

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