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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-6, use a definição para calcular as derivadas das funções. Depois determine os valores das derivadas, conforme especificado.

g t = 1 t 2 ;         g ' - 1 ,   g ' 2 ,   g ' 3

Passo 1

Vamos lembrar como calculamos a derivada de uma função utilizando a definição.

g ' t = d y d t = lim h → 0 ⁡ g t + h - g t h

Passo 2

Agora precisamos substituir a função g t na equação acima:

d y d t = lim h → 0 ⁡ 1 t + h 2 - 1 t 2 h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim.

d y d t = lim h → 0 ⁡ 1 t + h 2 - 1 t 2 h = 1 t + 0 2 - 1 t 2 0 = 0 0

Por isso a gente tem que fazer algumas manipulações para fugir desse problema. Primeiro vamos fazer o MMC no numerador:

d y d t = lim h → 0 ⁡ t 2 - t + h 2 t 2 t + h 2 h

d y d t = lim h → 0 ⁡ t 2 - t + h 2 h t 2 t + h 2

Passo 3

Agora vamos abrir o termo quadrático

d y d t = lim h → 0 ⁡ t 2 - t 2 + 2 h t + h 2 h t 2 t + h 2

d y d t = lim h → 0 ⁡ t 2 - t 2 - 2 h t - h 2 h t 2 t + h 2

d y d t = lim h → 0 ⁡ - 2 h t - h 2 h t 2 t + h 2

Passo 4

Em seguida cortamos o termo h , ok?

d y d t = lim h → 0 ⁡ - 2 t - h t 2 t + h 2 = - 2 t t 4 = - 2 t 3

Passo 5

Por fim precisamos substituir os valores de t na função que encontramos:

g ' t = - 2 t 3

g ' - 1 = - 2 - 1 3 = 2

g ' 2 = - 2 2 3 = - 1 4

g ' 3 = - 2 3 3 = - 2 3 3 ∙ 3 3 = - 2 3 9

Resposta

g ' t = - 2 t 3

g ' - 1 = 2

g ' 2 = - 1 4

g ' 3 = - 2 3 9

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