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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 12

Nos Exercícios 7-12, determine as derivadas indicadas.

d z d w       s e       z = 1 3 w - 2

Passo 1

Primeiro vamos relembrar como calculamos a derivada de uma função, que é utilizando a equação.

f ' w = d z d w = lim h → 0 ⁡ f w + h - f w h

Passo 2

Agora precisamos substituir a função f w na equação acima:

d z d w = lim h → 0 ⁡ 1 3 w + h - 2 - 1 3 w - 2 h

Substituindo h = 0 nessa equação vemos que não dá muito bom.

d z d w = lim h → 0 ⁡ 1 3 w + h - 2 - 1 3 w - 2 h = 1 3 w + 0 - 2 - 1 3 w - 2 0 = 0 0

Por isso devemos fazer algumas mexidas para ver se saímos desse problema. Podemos fazer o MMC para facilitar a conta:

d z d w = lim h → 0 ⁡ 3 w - 2 - 3 w + 3 h - 2 3 w + 3 h - 2 3 w - 2 h

d z d w = lim h → 0 ⁡ 3 w - 2 - 3 w + 3 h - 2 h 3 w + 3 h - 2 3 w - 2

Passo 3

Como temos uma raiz no numerador, podemos multiplicar pelo conjugado:

d z d w = lim h → 0 ⁡ 3 w - 2 - 3 w + 3 h - 2 h 3 w + 3 h - 2 3 w - 2 ∙ 3 w - 2 + 3 w + 3 h - 2 3 w - 2 + 3 w + 3 h - 2

Lembrando que a + b a - b = a 2 - b 2 :

d z d w = lim h → 0 ⁡ 3 w - 2 2 - 3 w + 3 h - 2 2 h 3 w + 3 h - 2 3 w - 2 3 w - 2 + 3 w + 3 h - 2

d z d w = lim h → 0 ⁡ 3 w - 2 - 3 w + 3 h - 2 h 3 w + 3 h - 2 3 w - 2 3 w - 2 + 3 w + 3 h - 2

d z d w = lim h → 0 ⁡ 3 w - 2 - 3 w - 3 h + 2 h 3 w + 3 h - 2 3 w - 2 3 w - 2 + 3 w + 3 h - 2

d z d w = lim h → 0 ⁡ - 3 h h 3 w + 3 h - 2 3 w - 2 3 w - 2 + 3 w + 3 h - 2

Passo 4

Em seguida cortamos o termo h , ok?

d z d w = lim h → 0 ⁡ - 3 3 w + 3 h - 2 3 w - 2 3 w - 2 + 3 w + 3 h - 2

d z d w = - 3 3 w + 3 ∙ 0 - 2 3 w - 2 3 w - 2 + 3 w + 3 ∙ 0 - 2

d z d w = - 3 3 w - 2 3 w - 2 3 w - 2 + 3 w - 2

d z d w = - 3 3 w - 2 2 3 w - 2

d z d w = - 3 2 3 w - 2 3 / 2

Resposta

d z d w = - 3 2 3 w - 2 3 / 2

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