Calcular ∬_R^() sqrt(x^2 + y^2) d x d y , sendo R a região delimitada por x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 9 .

Passo 1

A representação da região de integração é dada:

Assim:

x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 9

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

1 <= r^2 <= 9

1 < r <= 3

Desse modo, temos que:

1 <= r <= 3

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

int_0^(2 pi) int_1^3 r * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_1^3 r^2 d r = (r^3)/(3)

Aplicando os limites:

(27 - 1) (1)/(3) = (26)/(3)

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^(2 pi) (26)/(3) d theta = (26)/(3) theta

Aplicando os limites:

(2 pi - 0) (26)/(3) = (52 pi)/(3)

Resposta

(52 pi)/(3)

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