Nos exercícios 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido pela função dada:

18. u(x, y, z) = - (1 / 6) * (x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

Então pessoal, calcular o gradiente de um campo escalar quando temos uma função bem definidinha, assim como é o nosso caso, é bem tranquilo, tá? Basta derivarmos parcialmente em relação a cada eixo e botar tudo numa soma, desse jeito aqui ó:

g r a d   f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Sendo assim, só precisamos encontrar essas derivadas e substituir em seus devidos lugares, ok? Então let’s go!

Passo 2

Para x a derivada parcial será:

∂ u ∂ x = - 1 6 2 x = - x 3

Para y a derivada parcial será:

∂ u ∂ y = - y 3

Para z a derivada parcial será:

∂ u ∂ z = - z 3

Dessa forma, nosso gradiente será:

g r a d   u = - x 3 i → + - y 3 j → + - z 3 k →

Passo 3

O gradiente de uma função é um vetor que aponta o sentido e a direção de maior incremento possível em um campo escalar. Se esboçarmos esse gradiente graficamente, teremos algo parecido com o seguinte:

E está aí nosso resultado, galera!

Resposta

g r a d   u = - x 3 i → + - y 3 j → + - z 3 k →

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