Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 11

Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação no qual a reta normal é perpendicular ao plano .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

A derivada parcial possui várias aplicações, assim como a derivada simples. Nesse exercício iremos usá-la para encontrarmos o ponto desejado. Mas antes precisamos verificar algumas informações: se a reta normal à superfície é perpendicular ao plano dado, isso significa que esse plano é tangente à superfície.

Por conta disso, os vetores normais à ambos o plano e superfície possuem a mesma direção, mas tamanho diferente, tal que uma é proporcional a outra. O que pode ser feito, então, é encontrar o vetor normal e fazer a análise dessa proporcionalidade.

Pelo Teorema do livro DIOMARA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - ED. (página ), tendo uma superfície de equação e um ponto , o gradiente dessa função no ponto é perpendicular a qualquer vetor tangente à superfície nesse ponto. Para esse caso, podemos considerar que o gradiente é o vetor normal à superfície.

Logo, para esse exercício, temos que:

Onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 2

Então, primeiro vamos calcular o gradiente da função da superfície. Primeiro, vamos deixar todos os termos da equação de um lado só:

Tal que:

Logo, as derivadas parciais serão dadas por:

E, substituindo as coordenadas do ponto:

Passo 3

Agora, para a equação do plano, vamos reescrevê-la como:

O gradiente dessa função será dado por:

Ou seja, no ponto:

Passo 4

Então, analisando a proporcionalidade de ambos os gradientes/vetores normais, teremos:

Logo, isso nos dá as relações:

Ou ainda:

Passo 5

Como precisamos determinar o valor de para sabermos as coordenadas do ponto e esse ponto está situado na superfície dada, podemos substituir o valor dessas coordenadas na equação da superfície. Então, substituindo:

Isso resulta em:

Ou seja:

Igualando o denominador:

Portanto:

E isolando podemos conseguir:

Logo:

Passo 6

Por fim, precisamos do valor positivo ou negativo da constante?

Vamos lembrar que o exercício nos diz que o ponto se situa no primeiro octante. Isso significa que os valores de todas as coordenadas são positivos por estarem nos eixos positivos. Então, precisa ser positivo também.

Concluímos, então, que o ponto será dado por: