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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.1 - Ex. 11

Nos Exercícios de 1 a 18, determine se a função é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

11. f x = 1 2 t g   x - 1 2 π

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é uma função biunívoca (ou injetora). Uma função dessa forma tem a característica de que cada componente do seu domínio só tem um correspondente em sua imagem. O diagrama a seguir demonstra essa característica.

Onde A é o domínio da função e B é a imagem dessa função, pode – se reparar que cada membro do domínio corresponde a um único membro da imagem.

Passo 2

Agora vamos avaliar a função que nos foi dada.

f x = 1 2 t g   x - 1 2 π

A função dada contém a função tangente que é uma velha conhecida nossa, e sabemos que ela se repete depois um determinado valor, mas vamos avaliar em x = 0 e x = π que são pontos fáceis de sabermos o valor da tangente.

f 0 = 1 2 t g   0 - 1 2 π

                    = 1 2 ⋅ 0 - 1 2 π = - 1 2 π

f π = 1 2 t g   π - 1 2 π

                    = 1 2 ⋅ 0 - 1 2 π = - 1 2 π

Como pode ser visto a função f assume o mesmo valor em sua imagem em dois pontos diferentes do seu domínio, logo ela não é biunívoca.

Passo 3

Agora vamos ver como ficaria o gráfico dessa função.

Através do gráfico também é possível ver o que constatamos no passo 2.

Resposta

A função f ( x ) não é biunívoca.

Ver Outros Exercícios desse livro

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Dado que y = cot - 1 ⁡ - 1 2 , ache o valor exato de cada uma das funções: (a) sen ⁡ y ; (b) cos ⁡ y ; (c) tan ⁡ y ; (d) sec ⁡ y ; (e) csc ⁡ y .
Ache o valor exato da quantidade dada: tan - 1 ⁡ tan ⁡ π 6 tan - 1 ⁡ tan ⁡ - π 3 tan - 1 ⁡ tan ⁡ 7 π 6 tan - 1 ⁡ tan ⁡ - 4 π 3
Ache o valor exato da quantidade dada: tan - 1 ⁡ tan ⁡ π 3 tan - 1 ⁡ tan ⁡ - π 6 tan - 1 ⁡ tan ⁡ 4 π 3 tan - 1 ⁡ tan ⁡ - 7 π 6
Ache o valor exato da quantidade dada: cot - 1 ⁡ cot ⁡ π 6 cot - 1 ⁡ cot ⁡ - π 3 cot - 1 ⁡ cot ⁡ 7 π 6 cot - 1 ⁡ tan ⁡ - 4 π 3
Ache o valor exato da quantidade dada: sec - 1 ⁡ sec ⁡ π 4 sec - 1 ⁡ sec ⁡ - π 4 sec - 1 ⁡ sec ⁡ 3 π 4 sec - 1 ⁡ sec ⁡ 5 π 4