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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 28

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme inficado. Para cada exercício, faça uma figura mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

28. A região do Exercício 27; retângulos inscritos.

Passo 1

A região do exercício 27 é:

A região e o i-ésimo retângulo inscrito estão na figura. O intervalo fechado é [ - 2,1 ] e a função é y = 4 - x 2 . Sendo assim,

Δ x = 1 - ( - 2 ) n = 3 n

f x i - 1 = 4 - - 2 + ( i - 1 ) 3 n ⏟ x i - 1 2 = 4 - 4 - 2 ⋅ 2 ⋅ i - 1 3 n + i - 1 3 n 2

f x i - 1 = 12 i - 1 n - 9 i - 1 2 n 2

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i - 1 Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 12 i - 1 n - 9 i - 1 2 n 2 3 n  

= lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 ∑ i = 1 n 12 i n - 12 n - 9 i 2 + 18 i - 9 n  

= lim n → + ∞ ⁡ 3 n 3 ∑ i = 1 n i 12 n + 18 - 9 i 2 - ( 9 + 12 n )  

= lim n → + ∞ ⁡ 3 n 3 ∑ i = 1 n i 12 n + 18 - ∑ i = 1 n 9 i 2 - ∑ i = 1 n ( 9 + 12 n )

= lim n → + ∞ ⁡ 3 n 3 12 n + 18 ∑ i = 1 n i - 9 ∑ i = 1 n i 2 - ( 9 + 12 n ) ∑ i = 1 n 1

Passo 2

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 3 12 n + 18 n ( n + 1 ) 2 - 9 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 - ( 9 + 12 n ) n

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 12 + 18 n n n 1 + 1 n 2 - 9 n n 1 + 1 n 2 + 1 n 6 - 9 n + 12 n n 2

A = ⁡ 3 12 + 0 1 + 0 2 - 9 1 + 0 2 + 0 6 - 0 + 12 0

A = ⁡ 3 12 2 - 18 6 3 6 - 3 = 9

Logo, a área é 9   u . a .

Resposta

A = 9   u . a

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