Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.6 - Ex. 17
Faça uma correspondência entre as equações e os gráficos identificados por e justifique sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm constante e quais têm constante.
Passo 1
Faala, pessoal!
Essa questão pede pra gente descobrir qual dessas figuras representa as equações:
Além disso, precisamos descobrir as curvas de grade que têm constante e as que têm constante.
Bom, a gente pode primeiro de tudo testar alguns pontos... substituir e por alguns valores que a gente saiba calcular pra poder relacionar com as imagens!
As curvas de grade também podem ajudar a gente a descobrir qual a figura certa. Vamos ver como ficam as curvas considerando constante e depois constantes.
Passo 2
Vamos testar alguns valores de :
Primeiro,
Para :
E para :
Ou seja, nossa superfície passa pelos pontos , e .
As figuras não tem os números nos eixos, mas só as figuras e podem passar por esses três pontos.
Passo 3
Agora vamos ver as famílias de curvas de grade.
Primeiro pensando em constante.
Temos que e são constantes. Vamos chamar:
Então:
Daqui, sabemos que essas curvas têm constante! Dentre as nossas opções, a única figura com essa característica é a .
As curvas de grade com contante são do tipo:
Para constantes entre e .
Passo 4
Por último, vamos ver constante.
Vamos chamar e , então:
Ou seja, as curvas de grade são do tipo:
Para constantes entre e .
Se considerarmos , podemos fazer:
Como
Temos
Isso quer dizer que as curvas de grade com constante sempre vão estar nesse plano .
Passo 5
Então já vimos que a nossa figura é essa:
As curvas de grade com constante são as curvas horizontais (já que é constante nesse caso).
E as com constante são as verticais (já que estão em um plano ).