Faça uma correspondência entre as equações e os gráficos identificados por I - V I e justifique sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.

x = (1 - u) / (3 + cos(v)) * cos(4πu)

y = (1 - u)(3 + cos(v))(sen(4πu))

z = 3u + (1 - u) * sen(v)

Passo 1

E aiii galera, tudo bem com vocês!?

Nessa questão temos que fazer a correspondência entre as imagens I - V I e a parametrização abaixo, assim como, determinar quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.

x = 1 - u 3 + cos ⁡ v cos ⁡ 4 π u

y = 1 - u 3 + cos ⁡ v sen ⁡ 4 π u

z = 3 u + 1 - u sen ⁡ v

Vamos com calma, que essa é mais complicadinha! Temos uma parametrização bem extensa!

Olhando as parametrizações:

x = 1 - u 3 + cos ⁡ v cos ⁡ 4 π u

y = 1 - u 3 + cos ⁡ v sen ⁡ 4 π u

z = 3 u + 1 - u sen ⁡ v

O segredo para você identificar qual figura essa parametrização representa, é adotar alguns valores de u constante e verificar o comportamento da curva.

Eu quero que você adote os seguintes valores de u :

u = 0

u = 1 2

u = 1

Você deve substituir cada um desses valores na parametrização e então avaliar a curva que pode ser gerada pela expressão resultante.

Bora lá fazer isso!

Passo 2

Lembrando nossa parametrização, que é:

x = 1 - u 3 + cos ⁡ v cos ⁡ 4 π u

y = 1 - u 3 + cos ⁡ v sen ⁡ 4 π u

z = 3 u + 1 - u sen ⁡ v

Vamos adotar alguns valores de u constante para entender o comportamento das regiões.

Assim, as famílias de curvas da grade para:

u = 0

Temos,

x = 3 + cos ⁡ v

y = 0

z = sen ⁡ v

Essa parametrização corresponde a uma circunferência de raio 1 no plano x z com centro 3,0 , 0 .

Para,

u = 1 2

Temos,

x = 3 2 + 1 2 cos ⁡ v

y = 0

z = 3 2 + 1 2 sen ⁡ v

Que também corresponde a uma circunferência de raio 1 2 no plano x z com centro 3 2 , 0 , 3 2 .

Por fim, para:

u = 1

Vamos ter:

x = y = 0

z = 3

Observe que para esse último valor de u , temos o ponto mais alto do gráfico.

Olhando todos os gráficos o que melhor corresponde com a nossa analise é o gráfico V , que mostra curvas de grade em espiral.

Passo 3

Para comprovar a escolha do gráfico V , vamos utilizar o Geogebra 3D para plotar nossa parametrização.

x = 1 - u 3 + cos ⁡ v cos ⁡ 4 π u

y = 1 - u 3 + cos ⁡ v sen ⁡ 4 π u

z = 3 u + 1 - u sen ⁡ v

Fazendo,

0 ≤ u ≤ 1

0 ≤ v ≤ 2 π

Logo, temos o gráfico:

Você pode fazer utilizando o seguinte input no Geogebra 3D:

a=Superfície((1-u) (3+cos(v)) cos(4 π u),(1-u) (3+cos(v)) sen(4 π u),3 u+(1-u) sen(v),u,0,1,v,0,2 π)

Veja que a figura acima é exatamente igual ao gráfico V .

Resposta

Gráfico V

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