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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 25

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

25-

y = s e c - 1 ( 2 s + 1 )

Passo 1

Podemos escrever o inverso da função acima da seguinte forma:

sec ⁡ y = 2 s + 1

Pois y   é o valor do ângulo cuja secante é 2 s + 1 , logo se fizermos a secante de y acharemos 2s+1.

Passo 2

Agora aplicando a derivada em relação a s d d s nos dois lados, encontraremos:

d d s sec ⁡ y = 2

Porém devemos fazer a derivada da secante que é:

d d y ( sec ⁡ y ) = d d y 1 cos ⁡ y = 1 ' cos ⁡ y - 1 ( cos ⁡ y ) ' cos 2 ⁡ y = sin ⁡ y cos 2 ⁡ y = t g   y × sec ⁡ y

Logo:

t g   y × sec ⁡ y × d s d t = 2

Não podemos esquecer da regra da cadeia!

d s d t = 2 sec ⁡ y × t g   y

Passo 3

A secante de y já sabemos e ela vale 2 s + 1 mas e a tangente?

sec ⁡ y = 2 s + 1

Podemos tirar ela da relação fundamental!

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Dividindo toda a equação por cos 2 ⁡ x nós teremos:

t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x

Isolando a tangente nós teremos:

t g   x = sec 2 ⁡ x - 1

Substituindo todos os termos nós teremos:

d s d t = 2 2 s + 1 ± 2 s + 1 2 - 1

Fazendo a distributiva nós teremos:

d s d t = 2 2 s + 1 ± 4 s 2 + 4 s  

Se tirarmos o quatro da raiz ficaremos com:

d s d t = 1 | 2 s + 1 | s 2 + s  

Resposta

d s d t = 1 | 2 s + 1 | s 2 + s  

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