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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.12 - Ex. 19

Nos exercícios 1 a 22 encontre a derivada das funções dadas. A seguir, comparar os resultados encontrados com os resultados obtidos a partir do uso de um software algébrico.

19.

f x = x + 1 x + 2 ( 3 x 2 + 6 x )

Passo 1

Queremos encontrar a derivada da função f ( x ) dada. Podemos usar a regra do cociente junto com a regra do produto para resolves essa questão.

Passo 2

Para fazer isso dividimos a f ( x ) em três funções, uma g ( x ) , uma h ( x ) e uma j ( x ) . Assim escrevemos a f ( x ) da seguinte forma:

f x = g x h x j ( x )

Onde g x = x + 1 , h x = x + 2 e j x = 3 x 2 + 6 x .

Passo 3

A regra do produto diz o seguinte: a derivada do primeiro termo g x h x ' vezes o segundo termo j ( x ) mais o primeiro termo g x h x vezes a derivada do segundo termo j ' ( x ) .

f ' ( x ) = g x h x ' × j x + g x h x × j ' ( x )

Passo 4

A regra do cociente diz o seguinte: O derivada do dividendo g ' ( x ) multiplicado pelo divisor h ( x ) menos a derivada do divisor h ' ( x ) vezes o dividendo g ( x ) , tudo isso divido pelo divisor ao quadrado h x 2 . Escrevendo isso matematicamente temos:

g x h x ' = g ' x × h x - g x × h ' x h x 2

Passo 5

Derivamos então a g ( x ) a h ( x ) e a J ( x ) e depois substituímos na equação acima para encontrar a f ' ( x ) . Temos que:

g ' x = 1

h ' x = 1

j ' x = 6 x + 6

Passo 6

Agora substituímos nas equações acima para obtermos a derivada de f ( x ) :

g x h x ' = g ' x × h x - g x × h ' x h x 2

g x h x ' = 1 × x + 2 - x + 1 × 1 x + 2 2

g x h x ' = x + 2 - x + 1 x + 2 2

g x h x ' = 1 x + 2 2

f ' ( x ) = g x h x ' × j x + g x h x × j ' ( x )

f ' ( x ) = 1 x + 2 2 × 3 x 2 + 6 x + x + 1 x + 2 × 6 x + 6

Resposta

f ' ( x ) = 1 x + 2 2 × 3 x 2 + 6 x + x + 1 x + 2 × 6 x + 6

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