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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.12 - Ex. 20

Nos exercícios 1 a 22 encontre a derivada das funções dadas. A seguir, comparar os resultados encontrados com os resultados obtidos a partir do uso de um software algébrico.

20.

f x = x - a 2 x - b

Passo 1

Queremos encontrar a derivada da função f ( x ) dada. Podemos usar a regra da cadeia junto com a regra do quociente para resolver essa questão.

Passo 2

Para fazer isso dividimos a f ( x ) em três funções, uma g ( x ) , uma h ( x ) e uma j ( x ) . Assim escrevemos a f ( x ) da seguinte forma:

f x = g j x h x

Onde g x = j x 2 , h x = x - b e j x = x - a .

Passo 3

A regra da cadeia diz o seguinte: a derivada da de fora aplicada na de dentro g ' j ( x ) vezes a derivada da de dentro j ' ( x ) .

g j x ' = g ' j ( x ) × j ' ( x )

Passo 4

A regra do quociente diz o seguinte: O derivada do numerador g j x ' multiplicado pelo denominador h ( x ) menos a derivada do denominador h ' ( x ) vezes o numerador g j x , tudo isso divido pelo denominador ao quadrado h x 2 . Escrevendo isso matematicamente temos:

g j x h x ' = g j x ' × h x - g j x × h ' x h x 2

Passo 5

Dessa forma, podemos escrever a f ' ( x ) da seguinte maneira:

f ' x = g ' j ( x ) × j ' ( x ) × h x - g j x × h ' x h x 2

Passo 6

Derivamos então a g j x a h ( x ) e a j ( x ) e depois substituímos na equação acima para encontrar a f ' ( x ) . Temos que:

g ' j x = 2 × ( x - a )

h ' x = 1

j ' x = 1

Passo 7

Agora substituímos nas equações acima para obtermos a derivada de f ( x ) :

f ' x = g ' j ( x ) × j ' ( x ) × h x - g j x × h ' x h x 2

f ' x = 2 × x - a × 1 × x - b - x - a 2 × 1 x - b 2

f ' x = 2 × x - a × x - b - x - a 2 x - b 2

f ' x = x - a × 2 x - 2 b - x + a x - b 2

f ' x = x - a × x - 2 b + a x - b 2

Resposta

f ' x = x - a × x - 2 b + a x - b 2

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