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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 26

Nos Exercícios de 23 a 32 , prove que a função é descontínua no número a . Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefinda f ( a )   de tal forma que seja removida

26 ) f x = x 2 - x - 12 x 2 + 2 x - 3 ,   a = - 3

Passo 1

Pra gente começar, podemos simplificar a função fazendo Bháskara em cima e em baixo. Saca só, pro polinômio de cima:

x 2 - x - 12 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

E logo:

x 1,2 = 1 ± 1 + 4 8 2 = 1 ± 49 2 = 1 ± 7 2 = x 1 = - 3 x 2 = 4

Pro polinômio de baixo:

x 2 + 2 x - 3 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - 2 ± 4 + 12 2 = - 2 ± 16 2 = - 2 ± 4 2 = x 1 = - 3 x 2 = 1

A função se transforma então em:

f x = x 2 - x - 12 x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 4 x + 3 x - 1

Passo 2

Agora saca só, pra função ser descontínua nesse valor de a , como temos uma divisão de polinômio, isso só vai acontecer se o denominador zerar. Veja que:

- 3 2 + 2 - 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0

Então beleza, provamos que a função é sim descontínua. Agora, pra funções contínuas, é sempre válido:

lim x → a ⁡ f x = f a

Note que o limite existe mesmo que   f a não exista:

lim x → - 3 ⁡ x 2 - x - 12 x 2 + 2 x - 3 = lim x → - 3 ⁡ x + 3 x - 4 x + 3 x - 1 = lim x → - 3 ⁡ x - 4 x - 1 = - 3 - 4 - 3 - 1 = - 7 - 4 = 7 4

Então a descontinuidade é removível se definirmos   f - 3 = 7 4

Resposta

Descontinuidade removível. f - 3 = 7 4

Ver Outros Exercícios desse livro

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Nos exercícios 75 a 78, prove que a função é descontínua no número a. Então, determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, redefina f(a) de forma a remover a descontinuida
Nos Exercícios de 23 a 32 , prove que a função é descontínua no número a . Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefinda f ( a ) de tal f
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