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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 67

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

67. y = t g^2 ( s e n^3 t )

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos essa derivada precisaremos aplicar a regra da cadeia duas vezes seguidas! A primeira regra da cadeia é para derivar a função mais externa, que é a da função tangente. A segunda regra é para derivar a função mais interna, que é a função seno. A regra da cadeia nos diz que:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d t)

Sabendo disso já podemos resolver a derivada, se liga!

Passo 2

Aplicando a primeira vez, teremos:

(d y)/(d t) = 2 . t g (s e n^3 t) . s e c^2 (s e n^3 t) . ( s e n^3 t ) '

Essa primeira regra foi aplicada de forma direta porque da segunda vez que formos aplicar os passos estarão mais explícitos, beleza?

Passo 3

Agora, assim como já comentado, só precisamos determinar a derivada da função mais interna, que é aquela função seno ali! Utilizando a regra da cadeia, teremos:

g (x) = s e n^3 t

u = s e n t => (d u)/(d t) = cos t

g = u^3 => (d g)/(d u) = 3 u^2

Aplicando na regra, teremos:

(d g)/(d t) = (d g)/(d u) xx (d u)/(d t)

(d g)/(d t) = 3 u^2 . cos t

:. (d g)/(d t) = 3 . s e n^2 t . cos t

Passo 4

Agora que encontramos tudo, só precisamos substituir os resultados na derivada que queremos:

(d y)/(d t) = 2 . t g (s e n^3 t) . s e c^2 (s e n^3 t) . ( s e n^3 t ) '

(d y)/(d t) = 2 . t g (s e n^3 t) . s e c^2 (s e n^3 t) . ( 3 . s e n^2 t . cos t )

:. (d y)/(d t) = 6 . t g (s e n^3 t) . s e c^2 (s e n^3 t) . s e n^2 t . cos t

Resposta

(d y)/(d t) = 6 . t g (s e n^3 t) . s e c^2 (s e n^3 t) . s e n^2 t . cos t

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