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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 63

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

63. y = ( 1 + t g^4 ((t)/(12)) ) ³

Passo 1

Então galeris, para conseguirmos resolver essa derivada precisaremos relembrar da regra da cadeia, beleza? A regra da cadeia nos diz que se queremos derivar uma função composta, teremos:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d t)

No qual, nesse nosso caso:

u = 1 + t g^4 ((t)/(12))

y = u ³

Passo 2

Agora que já estabelecemos todos os dados que iremos precisar, vamos determinar (d y)/(d u) e, em seguida, (d u)/(d t) .

(d u)/(d t) = 4 . t g ³ ((t)/(12)) . s e c ² ((t)/(12)) . (1)/(12)

Lembrando que aquela função secante ao quadrado aparece porque (t g t)^' = s e c^2 (t) , beleza?

:. (d u)/(d t) = (1)/(3) . t g ³ ((t)/(12)) . s e c ² ((t)/(12))

(d y)/(d u) = 3 u ²

Passo 3

Agora que temos todas as derivadas necessárias, basta substituirmos na regra da cadeia que citamos lá em cima, se liga:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d t)

(d y)/(d t) = 3 u^2 . (1)/(3) . t g ³ ((t)/(12)) . s e c ² ((t)/(12))

:. (d y)/(d t) = (1 + t g^4 ((t)/(12)))^2 . t g ³ ((t)/(12)) . s e c ² ((t)/(12))

Resposta

(d y)/(d t) = (1 + t g^4 ((t)/(12)))^2 . t g ³ ((t)/(12)) . s e c ² ((t)/(12))

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