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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 66

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

66. y = 4 . s e n (sqrt(1 + sqrt(t)))

Passo 1

Então galeris, para conseguirmos resolver essa derivada precisaremos relembrar da regra da cadeia, beleza? A regra da cadeia nos diz que se queremos derivar uma função composta, teremos:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d t)

No qual, nesse nosso caso:

u = ( 1 + sqrt(t) )^((1)/(2))

y = 4 . s e n u

Passo 2

Agora que já estabelecemos todos os dados que iremos precisar, vamos determinar (d y)/(d u) e, em seguida, (d u)/(d t) .

(d u)/(d t) = (1)/(2) . ( 1 + sqrt(t) )^(- (1)/(2)) . (1)/(2) t^(- (1)/(2))

:. (d u)/(d t) = (1)/(4) . (1)/(sqrt(( 1 + sqrt(t) )) sqrt(t))

(d y)/(d u) = 4 . cos u

Passo 3

Agora que temos todas as derivadas necessárias, basta substituirmos na regra da cadeia que citamos lá em cima, se liga:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d t)

(d y)/(d t) = 4 . cos u . ((1)/(4) . (1)/(sqrt(( 1 + sqrt(t) )) sqrt(t)))

:. (d y)/(d t) = cos (sqrt(( 1 + sqrt(t) ))) . (1)/(sqrt(( 1 + sqrt(t) )) sqrt(t))

Resposta

(d y)/(d t) = cos (sqrt(( 1 + sqrt(t)) )) . (1)/(sqrt(( 1 + sqrt(t) )) sqrt(t))

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