Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = tg(x) e x = 0 e y = 1

Passo 1

Devemos começar as questões que pedem para calcularmos a área de uma região sempre pelo esboço dessa região. Se não esboçarmos ele, não conseguiremos compreender a integral que devemos calcular. Sendo assim, vejamos a região abaixo:

Como esta região é limitada acima e abaixo pelas curvas y = 1 e y = tg ⁡ x , a área é dada pela seguinte integral:

A = ∫ 0 π / 4 1 - tg ⁡ x d x

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a integral que nos dará a área, só nos resta calculá-la. Portanto, temos:

∫ 0 π / 4 1 - tg ⁡ x d x = ( x + ln ⁡ | cos ⁡ x | ) 0 π 4

Aplicando os limites de integração:

π 4 + ln ⁡ 2 2 - 0 + ln ⁡ 1

= π 4 + ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 - 0

= π 4 + 1 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2

= π 4 + ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ 2 2

= π 4 - ln ⁡ 2 2

Portanto, a área da nossa região é:

A = π 4 - ln ⁡ 2 2 u . a .

Resposta

A = π 4 - ln ⁡ 2 2 u . a .

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