Nos exercícios de 31 a 34, faça o seguinte: (a) encontre d x e d y em termos de t e d t ; (b) use os resultados da parte (a) para encontrar d y d x ; (c) expresse y em termos de x , eliminando t , e então calcule d y d x usando os teoremas de derivação. x = 1 - cos ⁡ t , y = 2 + sin ⁡ t , 0tπ Item (a)

Assim, naturalmente, temos: d x = sin ⁡ t d t d y = cos ⁡ t d t Item(b)Passo 1É importante perceber que, nesse caso, a relação d y d x é obtida, simplesmente, pela divisão das duas equações obtidas no item (a). Perceba que, no intervalo dado, sin ⁡ t ≠ 0 , logo, podemos fazer essa divisão normalmente. d y d x = cos ⁡ t d t sin ⁡ t d t d y d x = cot ⁡ t Resposta d y d x = cot ⁡ t Item (c)Passo 1Nesse item, a primeira coisa é expressar y em função de x , tal como o próprio enunciado pede. Para isso, é necessário sumir com o t das equações. Para isso, é necessário lembrar da relação fundamental da trigonometria, ideia também já indicada no enunciado. sin ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 = 1 Assim, isolando sin ⁡ t e cos ⁡ t nas equações e substituindo na relação fundamental supracitada, y - 2 2 + 1 - x 2 = 1 Passo 2Agora que já temos a equação, basta derivá-la implicitamente e, depois disso, isolar a função d y d x .Derivada implícita da equação, 2 y - 2 d y + 2 ( 1 - x ) d x = 0 Isolando a função d y d x , d y d x = x - 1 y - 2 Resposta d y d x = x - 1 y - 2

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 34

Nos exercícios de 31 a 34, faça o seguinte: (a) encontre e em termos de e ; (b) use os resultados da parte (a) para encontrar ; (c) expresse em termos de , eliminando , e então calcule usando os teoremas de derivação.

, ,

Item (a)

Passo 1

Nesse item, basta derivar os dois membros da equação normalmente. Vale lembrar que a derivada de é o próprio (analogamente para ) e que a derivada das funções trigonométricas são obtidas da seguinte forma:

Além disso,

Resposta

Assim, naturalmente, temos:

Item(b)

Passo 1

É importante perceber que, nesse caso, a relação é obtida, simplesmente, pela divisão das duas equações obtidas no item (a). Perceba que, no intervalo dado, , logo, podemos fazer essa divisão normalmente.

Resposta

Item (c)

Passo 1

Nesse item, a primeira coisa é expressar em função de , tal como o próprio enunciado pede. Para isso, é necessário sumir com o das equações. Para isso, é necessário lembrar da relação fundamental da trigonometria, ideia também já indicada no enunciado.

Assim, isolando e nas equações e substituindo na relação fundamental supracitada,

Passo 2

Agora que já temos a equação, basta derivá-la implicitamente e, depois disso, isolar a função .

Derivada implícita da equação,

Isolando a função ,

Resposta

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