Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 43
A medida da resistência elétrica de um fio é proporcional à medida de seu comprimento e inversamente proporcional ao quadrado da medida de seu diâmetro. Suponha que a resistência de um fio de um determinado comprimento seja calculada a partir da medida de seu diâmetro, com um erro possível de . Ache o erro percentual possível no cálculo do valor de sua resistência.
Passo 1
Nesse exercício, não temos nenhuma equação explícita. Contudo, o enunciado nos descreve a função que relaciona a resistência de um fio elétrico com o seu comprimento e seu diâmetro . Sendo uma constante arbitrária, é fácil escrever a equação que relaciona os dados discutidos:
Como, no problema proposto, é dado, as variáveis passam a ser e . Assim, podemos escrever:
Passo 2
Perceba agora que, tal como algumas outras desse capítulo, essa questão exige uma consideração definida no início da seção, em 4.9 item (2), onde podemos aproximar a variação de uma função a partir da variação de :
Teremos, portanto, aplicando essa aproximação nas variáveis do problema,
Passo 3
Perceba que o enunciado forneceu o valor de , ao falar que o erro possível é de . Ou seja,
Passo 4
Chegamos, portanto, em uma equação na qual conhecemos o valor de , queremos obter o valor de e não sabemos o valor de . Por isso, devemos calcular a diferencial de , função resistência do pêndulo.
Derivando em função de :
Passo 5
Finalmente, basta interpretar os valores do problema para saber onde substituir cada dado. Teremos, . Substituindo,
Passo 6
Para obter o valor do erro percentual , basta fazer
Resposta
Concluindo,