Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 34d

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los.

34 – A região no primeiro quadrante limitada pela curva x   =   y   –   y 3 ,   x = 1   e   y = 1 e pelo eixo y em torno

D – Da reta y = 1.

Passo 1

Primeiramente organizando as funções em tono do eixo x:

x = y - y 3

Assim os limites de integração são: a = 0   e   b = 1

Passo 2

Fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ⋅ a l t u r a   d x

Inserindo na fórmula teremos:

V = 2 π ∫ 0 1 ( 1 - y ) ( 1 - ( y - y 3 ) )   d y

V = 2 π ∫ 0 1 ( 1 - y ) 1 - y + y 3 d y  

V = 2 π ∫ 0 1 - y 4 + y 3 + y 2 - 2 y + 1   d y

Resolvendo a integral teremos:

2 π - y 5 5 + y 4 4 + y 3 3 - 2 y 2 2 + y 0 1 =   2 π - y 5 5 + y 4 4 + y 3 3 - y 2 + y 0 1

Inserindo os limites de integração, obteremos o volume:

2 π - 1 5 + 1 4 + 1 3 - 1 + 1 - 0  

Resolvendo:

2 π 1 4 + 1 3 - 1 5 = 2 π 15 + 20 - 12 60 = 2 π 23 60 = 23 π 30   u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

23 π 30   u . v .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva y = x 4 , a reta x= 1 e eixo x
Ache o volume do sólido gerado se a região do Exercício 25 for rotacionada em torno do eixo y.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 32 em torno do eixo y.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 30 em torno da reta x = 2 .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelo gráfico de y = 4 x - 1 8 x 4 , pelo eixo y e pela reta y = 6 em torno da reta x = 2 .