Enunciado

Nos exercícios de 35 a 44, ache a equação cartesiana do gráfico dada a sua equação polar

40. r = 2 s e n ( 3 θ )

Passo 1

O que o enunciado nos pede é para transformarmos a equação dada em (r, θ   ) para uma equação em (x,y). Para isso, devemos utilizar as relações básicas quando o assunto são coordenadas polares e queremos transformar de polar para cartesiana; que são elas

x 2 + y 2 = r 2

Y X = t g θ

x = r   c o s θ

y = r   s e n θ

Passo 2

Substituindo r e θ na equação cartesiana dada vem

r = 2 . 3 s e n θ - 4 s e n 3 θ

r = 6 s e n θ - 8 s e n 3 θ

r = 6 y r - 8 y r 3

r = 6 y r 3 - 8 y 3 r r 4

r = 2 y r 3 r 2 - 4 y 2 r 4

r 4 = 6 y r 2 - 8 y 3

x 2 + y 2 2 = 6 y x 2 + y 2 - 8 y 3

x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 - 6 x 2 y + 2 y 3 = 0  

Resposta

x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 - 6 x 2 y + 2 y 3 = 0

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