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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 27

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Para iniciar o exercício, pode-se reescrever a integral utilizando as identidades trigonométricas:

s e n a + b = s e n a   c o s b + s e n b   c o s a

s e n a - b = s e n a   c o s b - s e n b   c o s a

Tal que, somados darão:

s e n a + b + s e n a - b = 2 s e n a   c o s b

Logo:

s e n a   c o s b = s e n a + b + s e n a - b 2

Então, a integral se dará por:

I = ∫ s e n 3 x + 5 x + s e n 3 x - 5 x 2 d x

I = 1 2 ∫ s e n 8 x + s e n - 2 x   d x

Como a função seno é uma função ímpar:

s e n - 2 x = - s e n 2 x

Ou seja:

I = 1 2 ∫ s e n 8 x - s e n 2 x   d x

Passo 2

Assim, resolvendo a integral:

I = 1 2 - cos ⁡ 8 x 8 + cos ⁡ 2 x 2 + C

I = 1 4 cos ⁡ 2 x - 1 16 cos ⁡ 8 x + C

Resposta

1 4 cos ⁡ 2 x - 1 16 cos ⁡ 8 x + C

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