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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 13

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Aplicando o método da substituição simples com u = e 2 x - 1 e d u = 2 e 2 x d x , tem-se:

I = ∫ c o s 2 u   d u 2

Para resolver essa integral, algumas identidades trigonométricas devem ser lembradas. Neste caso, será usada a relação c o s 2 x = 1 - s e n 2 x que se usada na integral:

I = 1 2 ∫ 1 - s e n 2 u d u

Lembrando que:

s e n 2 n x = 1 - cos ⁡ 2 n x 2

Então:

I = 1 2 ∫ d u - ∫ 1 - cos ⁡ 2 u 2 d u

I = 1 2 ∫ d u - ∫ 1 2 d u + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 u d u

Unindo os termos semelhantes:

I = 1 4 ∫ d u + 1 4 ∫ cos ⁡ 2 u d u

Passo 2

Resolvendo as integrais:

I = 1 4 u + 1 4 s e n 2 u 2 + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Passo 3

Retornando a variável original:

I = 1 4 e 2 x - 1 + 1 8 s e n 2 e 2 x - 1 + C

Resposta

1 4 e 2 x - 1 + 1 8 s e n 2 e 2 x - 1 + C

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