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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 43

Nos exercícios de 39 a 46 , encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

s = ∫ θ 0 θ 1 f ' θ 2 + f θ 2 d θ

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado e o intervalo de integração necessário.

Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa um limaçom visto que ela tem a forma de:

r = a ± b c o s θ

Além disso, visto que a função cosseno é par c o s ⁡ ( θ ) = cos ⁡ - θ , ela é simétrica em relação ao eixo polar. Dessa forma é possível calcular metade do comprimento da curva de 0 a π , tal que o comprimento total será duas vezes o resultado obtido.

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

d d θ r = d d θ 2 - 3 c o s θ = 3 s e n θ

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

s = 2 ∫ 0 π 3 s e n θ 2 + 2 - 3 c o s θ 2 d θ

s = 2 ∫ 0 π 9 s e n 2 θ + 4 - 12 c o s θ + 9 c o s 2 θ d θ

Logo:

s = 2 ∫ 0 π 9 s e n 2 θ + c o s 2 θ + 4 - 12 c o s θ d θ

Lembrando que s e n 2 x + c o s 2 x = 1 :

s = 2 ∫ 0 π 9 + 4 - 12 c o s θ d θ

Portanto:

s = 2 ∫ 0 π 13 - 12 c o s θ d θ

Resposta

2 ∫ 0 π 13 - 12 c o s θ d θ

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