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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 17

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Para essa integral, pode-se utilizar o método da substituição simples, onde v = l n θ e d v = 1 θ d θ :

I = ∫ t g 3 v d v = ∫ s e n v c o s v s e n v c o s v 2 d v

Lembrando da identidade trigonométrica

s e n 2 v = 1 - c o s 2 v

Tem-se:

I = ∫ s e n v c o s v 1 - c o s 2 v c o s 2 v d v

Logo:

I = ∫ s e n v c o s 3 v d v - ∫ s e n v c o s v d v

Agora, aplicando outra substituição para ambas as integrais com u = c o s v e d u = - s e n v d v :

I = ∫ 1 u 3 - d u - ∫ 1 u - d u

I = ∫ 1 u d u - ∫ 1 u 3 d u

Passo 2

Resolvendo a integral:

I = ln ⁡ u + 1 2 u 2 + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Passo 3

Retornando a variável original:

I = ln ⁡ cos ⁡ l n θ + 1 2 c o s 2 l n θ + C

Resposta

s e n 20 t - 1 20 + C

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