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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 29

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Para iniciar o exercício, pode-se reescrever a integral utilizando as identidades trigonométricas:

c o s a + b = c o s a   c o s b - s e n a   s e n b

c o s a - b = c o s a   c o s b + s e n a   s e n b

Tal que, subtraídos darão:

c o s a - b - c o s a + b = 2 s e n a   s e n b

Logo:

s e n a   s e n b = c o s a - b - c o s a + b 2

Então, a integral se dará por:

I = ∫ c o s ω t - ω t + θ - c o s ω t + ω t + θ 2 d t

I = 1 2 ∫ c o s θ d t - ∫ cos ⁡ 2 ω t + θ d t

Passo 2

Para resolver a segunda integral, pode-se aplicar o método da substituição com u = 2 ω t + θ e d u = 2 ω d t :

I = 1 2 ∫ c o s θ d t - ∫ cos ⁡ u d u 2 ω

I = 1 2 cos ⁡ θ t - 1 2 ω s e n u + C

Passo 3

Substituindo de volta pra variável original, tem-se:

I = 1 2 cos ⁡ θ t - 1 2 ω s e n 2 ω t + θ + C

Resposta

1 2 cos ⁡ θ t - 1 2 ω s e n 2 ω t + θ + C

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