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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 50

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 49-52 para y como uma função de x .

x 2 - 9 d y d x = 1 ,   x > 3 ,   y 5 = ln ⁡ 3

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é passar tudo relacionado a x para um lado e o que não for pro outro.

∫ d y = ∫ d x x 2 - 9

Integrando o lado esquerdo:

y = ∫ d x x 2 - 9

Passo 2

Vamos agora fazer uma mudança de variável trigonométrica:

x = 3 sec ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

y = ∫ d x x 2 - 9 = ∫ 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ 3 sec ⁡ θ 2 - 9 = ∫ 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ 9 sec 2 ⁡ θ - 9

y = ∫ 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ 9 sec 2 ⁡ θ - 1 = ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ - 1

Lembrando das relações trigonométricas:

tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Substituindo na equação:

y = ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ = ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ tan ⁡ θ = ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Vamos agora multiplicar em cima e embaixo por sec ⁡ θ + tan ⁡ θ :

y = ∫ sec ⁡ θ d θ ∙ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ = ∫ sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ

Agora, precisamos fazer mais uma mudança de variável:

w = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d w = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

y = ∫ sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ = ∫ d w w

Calculando a integral:

y = ∫ d w w = ln ⁡ w + C

Passo 4

Revertendo para a variável original:

y = ln ⁡ w + C = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C = ln ⁡ sec ⁡ arcsec ⁡ x 3 + tan ⁡ arcsec ⁡ x 3 + C

y = ln ⁡ x 3 + x 3 2 - 1 + C = ln ⁡ x 3 + x 2 9 - 1 + C = ln ⁡ x 3 + x 2 - 9 3 + C

Depois vamos substituir o ponto dado na equação encontrada:

y 5 = ln ⁡ 3 = ln ⁡ 5 3 + 5 2 - 9 3 + C

C = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 5 3 + 25 - 9 3

C = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 5 3 + 16 3

C = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 5 3 + 4 3 = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 3 = 0

Prontinho!!!

Resposta

y = ln ⁡ x 3 + x 2 - 9 3

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Encontre f . f ' ' x = 24 x 2 + 2 x + 10 ,f 1 = 5 , f ' 1 = - 3
Encontre f . f ' t = 2 cos ⁡ t + sec 2 ⁡ t ,- π 2tπ 2 , f π 3 = 4
Encontre f . f ' ' t = 3 t ,f 4 = 20 , f ' 4 = 7
Encontre f . f ' x = x 6 + 5 x , f 1 = 10
Encontre f . f ' ' θ = s e nθ + cos ⁡ θ ,f 0 = 3 , f ' 0 = 4