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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 31

Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação álgébrica para encontrar a soma e o limite.

31 .             ∫ 0 π sen ⁡ 5 x d x

Passo 1

Primeiro nós vamos utilizar a definição de integral, que nos diz o seguinte.

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Em que Δ x = b - a n e x i = a + i Δ x = a + i b - a n (utilizando as extremidades direitas).

Na nossa questão, a = 0 e b = π , ou seja, Δ x = π n e x i = i π n . Sendo assim,

∫ 0 π sen ⁡ 5 x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f i π n π n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n sen ⁡ 5 i π n ⋅ π n

Passo 2

Agora calculamos a soma utilizando um SCA. Temos:

∑ i = 1 n sen ⁡ 5 i π n ⋅ π n = π cot ⁡ 5 π 2 n n

Passo 3

Basta substituir o resultado e calcular o limite agora, utilizando novamente um SCA.

∫ 0 π sen ⁡ 5 x d x = lim n → ∞ ⁡ π cot ⁡ 5 π 2 n n = 2 5

Sendo assim,

∫ 0 π sen ⁡ 5 x d x = 2 5

Resposta

∫ 0 π sen ⁡ 5 x d x = 2 5

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